Линейчатая поверхность

Линейчатая поверхность ― поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие, направляющей кривой.

Если [math]\displaystyle{ p(u) }[/math] ― радиус-вектор направляющей, a [math]\displaystyle{ m=m(u) }[/math] ― единичный вектор образующей, проходящей через [math]\displaystyle{ p(u) }[/math], то радиус-вектор линейчатой поверхности есть

[math]\displaystyle{ r=p(u)+v\cdot m(u), }[/math]

где [math]\displaystyle{ v }[/math] ― координата точки на образующей.

Примеры

• 

  Линейчатый геликоид

• 

  Линейчатый гиперболоид

• 

  Гиперболический параболоид

• 

  Цилиндр, гиперболоиды и конус как линейчатые поверхности

Свойства

• Линейчатая поверхность характеризуется тем, что её асимптотическая сеть ― полугеодезическая.
• Гауссова кривизна линейчатой поверхности [math]\displaystyle{ K \leq 0 }[/math].
• Теорема Бельтрами. Линейчатую поверхность всегда можно и притом единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической.
• Теорема Бонне. Кроме того, если линейчатая поверхность [math]\displaystyle{ F }[/math], не являющаяся развёртывающейся, изгибается в линейчатую поверхность [math]\displaystyle{ F' }[/math], то либо их образующие соответствуют друг другу, либо обе они изгибаются в квадрику, на которой сеть, соответствующая семействам образующих, ― асимптотическая.
• Единственная минимальная линейчатая поверхность ― геликоид.
• Линейчатая поверхность вращения ― однополостный гиперболоид, может быть вырождающейся в цилиндр, конус или плоскость.
• Существуют примеры гладких линейчатых поверхностей, не допускающих гладких параметризаций вида

  [math]\displaystyle{ r(u,v)=p(u)+v\cdot m(u). }[/math]

Типы

• Поверхность Каталана — линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой параллельны одной плоскости.
• Цилиндрическая поверхность — линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой параллельны.
• Коноид — линейчатая поверхность, у которой образующие пересекают фиксированную прямую.

В архитектуре

• 

  Синусоидальная линейчатая крыша, Храм Святого Семейства (Барселона)

• 

  Гиперболоидные градирни

• 

  Башня в Цехануве

• 

  Башня Кобе.

• 

  Первая Шуховская башня, 1896 Нижний Новгород.

• 

  Шуховская башня в Москве.

• 

  лестница в Торраццо Кремоны.

• 

  Параболическая крыша Варшава.

• 

  Коническая шапка.

• 

  Ротонда Св. Николая в Село, Словения

Вариации и обобщения

Поверхности, образованные движением геодезической в метрическом пространстве также называются линейчатыми поверхностями. Классический результат Александрa Даниловичa Александровa утверждает, что линейчатая поверхность в CAT(0) пространстве с индуцированной внутренней метрикой является CAT(0) пространством.

Литература

• Линейчатые поверхности // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.